క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం మూలాలు: బీజగణితం మరియు రేఖాగణిత అర్ధం

బీజగణితంలో, ఒక చదరపు సమీకరణం రెండవ ఆర్డర్ సమీకరణం. సమీకరణం అనేది దాని కూర్పులో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ తెలియని ఒక గణితపరమైన వ్యక్తీకరణ. ద్వితీయ శ్రేణి సమీకరణ అనేది గణిత శాస్త్ర సమీకరణం, ఇది తెలియని డిగ్రీలో కనీసం ఒక చదరపు ఉంటుంది. ద్విపార్శ్వ సమీకరణం రెండవ క్రమంలో ఉంటుంది, సమీకరణం సున్నాకు సమానం ఒక గుర్తింపు రూపం యొక్క రూపానికి తగ్గించబడుతుంది. క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి అంటే చతురస్ర సమీకరణం యొక్క మూలాలను నిర్ణయించడం. సాధారణ రూపంలో విలక్షణ చతురస్ర సమీకరణం:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

ఎక్కడ W, T అనేది చతురస్ర సమీకరణం యొక్క మూలాల గుణకాలు;

ఓ ఉచితం గుణకం;

C అనేది చతురస్ర సమీకరణం యొక్క మూలము (ఎల్లప్పుడూ c1 మరియు c2 ల రెండు విలువలు కలిగి ఉంటుంది).

ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, చతురస్ర సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే సమస్య, చతురస్ర సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొంటుంది. వాటిని కనుగొనడానికి, వివక్షతను కనుగొనడం అవసరం:

N = T ^ 2 - 4 * W * O

రూట్ c1 మరియు c2 ను కనుగొనటానికి సూత్రాన్ని పరిష్కరించడానికి ఒక వివక్షత అవసరమవుతుంది:

C1 = (-T + √N) / 2 * W మరియు c2 = (-T - √N) / 2 * W

సాధారణ రూపం యొక్క చతురస్ర సమీకరణంలో T యొక్క మూలంలోని గుణకం బహుళ విలువ కలిగి ఉంటే, అప్పుడు సమీకరణాన్ని భర్తీ చేస్తారు:

W * c ^ 2 + 2 * U * c + O = 0

దాని మూలాలు వ్యక్తీకరణలా కనిపిస్తాయి:

C1 = [-U + √ (U ^ 2-W * O)] / W మరియు c2 = [-U - √ (U ^ 2-W * O)] / W

తరచుగా సమీకరణం కొంచెం విభిన్న రూపం కలిగివుంటుంది, c_2 ఒక గుణకం W. లేనప్పుడు ఈ సందర్భంలో, పైన సమీకరణంలో ఈ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

C ^ 2 + F * c + L = 0

ఎక్కడ F లో మూలకం గుణకం;

L ఉచిత గుణకం;

C అనేది చతురస్ర సమీకరణం యొక్క మూలము (ఎల్లప్పుడూ c1 మరియు c2 ల రెండు విలువలు కలిగి ఉంటుంది).

ఈ రకమైన సమీకరణాన్ని తక్కువ సమీకరణం అని పిలుస్తారు. W యొక్క రూట్ వద్ద గుణకం ఒకటి ఉంటే, "క్షీణత" అనే పదం ఒక విలక్షణ చతురస్ర సమీకరణం యొక్క తగ్గింపు సూత్రం నుండి వచ్చింది. ఈ సందర్భంలో, చతురస్ర సమీకరణం యొక్క మూలాలు:

C1 = -F / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-L)] మరియు c2 = -F / 2 - √ [(F / 2) ^ 2-L)]

F యొక్క రూట్ వద్ద గుణకం యొక్క విలువ కూడా విషయంలో, మూలాలు ఒక పరిష్కారం ఉంటుంది:

C1 = -F + √ (F ^ 2-L) c2 = -F-√ (F ^ 2-L)

మేము ద్విపార్శ్వ సమీకరణాల గురించి మాట్లాడినట్లయితే, అప్పుడు మనము వియయ థీరమ్ ను గుర్తుంచుకోవాలి . తగ్గిన చతురస్ర సమీకరణం కోసం, కింది క్రమరాహిత్యాలు ఉన్నాయి:

C ^ 2 + F * c + L = 0

C1 + c2 = -F మరియు c1 * c2 = L

సాధారణ వర్గ సమీకరణంలో, చతురస్ర సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఆధారపడటంతో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

C1 + c2 = -T / W మరియు c1 * c2 = O / W

ఇప్పుడు మనము క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాల సాధ్యం వైవిధ్యాలను మరియు వాటి పరిష్కారాలను పరిశీలిద్దాం. వాటిలో ఇద్దరు ఉండవచ్చు, ఎందుకంటే సభ్యుడు c_2 లేకుంటే, సమీకరణం ఇకపై చదరపుగా ఉండదు. అందువలన:

1. ఉచిత కోఎఫీషియంట్ (పదం) లేకుండా చతురస్ర సమీకరణం యొక్క W * c ^ 2 + T * c = 0 వేరియంట్.

పరిష్కారం:

W * c ^ 2 = -T * సి

C1 = 0, c2 = -T / W

2. W * c ^ 2 + O = 0 ద్వితీయ పదం లేకుండా చతురస్ర సమీకరణం యొక్క వైవిధ్యం, చతురస్ర సమీకరణం యొక్క మూలాలు సంపూర్ణ విలువలో సమానంగా ఉన్నప్పుడు.

పరిష్కారం:

W * c ^ 2 = -O

C1 = √ (-O / W), c2 = - √ (-O / W)

ఇది బీజగణితం. క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం ఉన్న రేఖాగణిత అర్ధం పరిగణించండి. జ్యామితిలో రెండవ ఆర్డర్ సమీకరణం పరబోలా ఫంక్షన్ వివరిస్తుంది. ఉన్నత పాఠశాల విద్యార్థుల కోసం, ఈ సమస్య ఎంత తరచుగా చతురస్ర సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొంటుంది? సమీకరణం యొక్క ఈ మూలాలు ఫంక్షన్ (పరాబొలా) యొక్క గ్రాఫ్ అక్షాంశాల యొక్క అక్షంతో కలుస్తుంది ఎలా ఒక అభిప్రాయాన్ని ఇస్తుంది - abscissas. క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తే, మనకు మూలాల యొక్క అహేతుకమైన పరిష్కారం లభిస్తుంది, అప్పుడు ఖండన ఉండదు. రూట్ ఒక భౌతిక విలువ కలిగి ఉంటే, అప్పుడు ఫంక్షన్ ఒక స్థానంలో abscissa అక్షం దాటుతుంది. వరుసగా రెండు మూలాలను, అప్పుడు, - ఖండన రెండు పాయింట్లు.

మూలాలను కనుగొన్నప్పుడు రూట్ క్రింద ఒక అహేతుక రూటు అంటే ప్రతికూల విలువ అని గుర్తించాలి. శారీరక అర్ధం ఏ సానుకూల లేదా ప్రతికూల విలువ. ఒక మూలం కనుగొనబడితే, మూలాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థపై వక్రత యొక్క విన్యాసాన్ని W మరియు T యొక్క మూలాల గుణకాల ద్వారా కూడా నిర్ణయించవచ్చు. W ఒక సానుకూల విలువను కలిగి ఉంటే, అప్పుడు పరబోలా యొక్క రెండు శాఖలు పైకి దిశను కలిగి ఉంటాయి. W ఒక ప్రతికూల విలువ కలిగి ఉంటే, అప్పుడు - డౌన్. ఇంకా, గుణకం B అనుకూల సానుకూల సంకేతం కలిగివుండగా, W కూడా సానుకూలంగా ఉంటే, అప్పుడు పరబోలా ఫంక్షన్ యొక్క శూన్యము "-" అనంతం నుండి "+" అనంతం వరకు "y" లోపల ఉంటుంది, "c" మైనస్ అనంతం నుండి సున్నా వరకు ఉంటుంది. T అనునది ధనాత్మక విలువ, మరియు W ప్రతికూల విలువ, అప్పుడు అబ్సిస్సా అక్షం యొక్క మరొక వైపున.