మాక్లాయురిన్ మరియు కొన్ని విధులు పంపిణీ

ఆధునిక గణిత అధ్యయనం మాకు అనేక యొక్క అభిసరణ విరామం లో ఒక ఘాతక శ్రేణి మొత్తంగా సార్లు నిరంతర మరియు అపరిమిత సంఖ్యలో విభజించబడిన ఫంక్షన్ ఉంది తెలుసు ఉండాలి. ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: ఇచ్చిన ఏకపక్ష ఫంక్షన్ f వాదించేందుకు సాధ్యమేనా (x) - ఒక శక్తి సిరీస్ మొత్తానికి? ఆ f-tions f (x) ఒక శక్తి శ్రేణి ప్రాతినిధ్యం చెయ్యగల పరిస్థితుల్లో ఉంది? ఈ సమస్య యొక్క ప్రాముఖ్యతను సుమారు £ థియోలాజికల్ f (x) ఘాత శ్రేణుల మొదటి కొన్ని పదాలు మొత్తానికి స్థానంలో సాధ్యం అని ఉంది, ఒక బహుపది ఉంది. బహుపది - - ఇటువంటి ఒక భర్తీ ఫంక్షన్ వ్యక్తీకరణ చాలా సులభం అనుకూలమైన మరియు కొన్ని సమస్యలు పరిష్కరించడంలో ఉంది , గణిత విశ్లేషణలో అవి లెక్కించినప్పుడు వీటిని సమాకలనాలకు పరిష్కరించడంలో అవకలన సమీకరణాలు etc, ...

నిరూపించాడు ఉంది కొన్ని f-ii f (x), ఇందులో (n + 1) -th క్రమంలో ఉత్పన్నాలు లెక్కించవచ్చు, సమీపంలో తాజా సహా (α కోసం - R; x ₀ + R) ఒక బిందువు x = α ఫెయిర్ సూత్రం:

ఈ సూత్రం ప్రముఖ శాస్త్రవేత్త బ్రూక్ టేలర్ పేరు పెట్టారు. ముందు నుండి సంగ్రహించిన ఒక సంఖ్య, ఒక మాక్లాయురిన్ శ్రేణి అంటారు:

ఒక మాక్లాయురిన్ సిరీస్లో విస్తరణ ఉత్పత్తి సాధ్యం చేస్తుంది ఒక నియమం:

1. మొదటి, రెండవ, మూడవ, ... ఆర్డర్ ఉత్పన్నాలు నిర్ణయించడం.
2. x = 0 వద్ద ఉత్పన్నాలు ఏమిటో లెక్కించు.
3. రికార్డ్ మాక్లాయురిన్ సిరీస్ ఈ ఫంక్షన్ కోసం, ఆపై అభిసరణ విరామం గుర్తించడానికి.
4. (; R -R), ఫార్ములా మాక్లాయురిన్ పేరు అవశేష భాగం విరామం నిర్ణయించడం

R _n (x) -> n 0 -> అనంతం. ఒకటి వుంటే, అది ఫంక్షన్ f (x) మాక్లాయురిన్ సిరీస్ మొత్తానికి సమానంగా ఉండాలి.

ఇప్పుడు వ్యక్తిగత విధులు మాక్లాయురిన్ సిరీస్ పరిగణలోకి.

1. అందువలన, మొదటి f వుంటుంది (x) = ఇ ^x. వాస్తవానికి, వారి లక్షణాలు కాబట్టి F-Ia k అన్ని సమానం ^(x) = ఇ ^x ఆర్డర్లు వివిధ, మరియు F ^(కె), నిర్వచించిన సహజ సంఖ్యలు. సబ్స్టిట్యూట్ x = 0. మేము f ^{(కె) (0)} = ఇ ⁰ = 1, k = 1,2 పొందటానికి ... రాబోయే, ఇ ^x యొక్క ఒక సంఖ్య ఆధారంగా ఈ కింది విధంగా ఇది ఉంటుంది:

2. ఫంక్షన్ f (x) = పాపం x మాక్లాయురిన్ సిరీస్. వెంటనే ఉంటుంది, f పాటు ^'(x) = cos x = పాపం (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = పాపం (x అన్ని తెలియని ఉత్పన్నాలు ఆ f-tions పేర్కొనండి + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(కె) (x)} = పాపం (x + n * k / 2), k సానుకూల పూర్ణాంక వరకు సమానంగా ఉంటుంది. ఆ సాధారణ లెక్కలు చేయడం, ఉంది, మేము f ధారావాహిక (x) = పాపం x ఈ వంటి ఉంటుంది నిర్ధారించారు చేయవచ్చు:

3. ఇప్పుడు ఐజు f-f (x) = cos x పరిశీలిద్దాం. ఇది ఏకపక్ష క్రమాన్ని అన్ని ఉత్పన్నమైన తెలియదు, మరియు ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... మళ్ళీ, అది కొన్ని లెక్కలు చేసిన మేము f ధారావాహిక (x) cos X = ఇలా కనిపిస్తుంది కనుగొనేందుకు:

కాబట్టి, మేము ఒక మాక్లాయురిన్ సిరీస్లో విస్తరించింది చేయవచ్చు అత్యంత ముఖ్యమైన లక్షణాలు నమోదుచేశాయి, కానీ వారు కొన్ని విధులు కోసం టేలర్ శ్రేణి పూర్తి. ఇప్పుడు మేము అలాగే వాటిని జాబితా ఉంటుంది. ఇది కూడా టేలర్ సిరీస్ మరియు మాక్లాయురిన్ సిరీస్ అధిక గణితంలో నిర్ణయాలు వర్క్ సిరీస్ యొక్క ఒక ముఖ్యమైన భాగంగా ఉన్నాయి గమనించాలి. కాబట్టి, టేలర్ శ్రేణి.

1. మొదటి f-ii f (x) = ln (1 + x) యొక్క శ్రేణి. ఈ మేము f (x) = ln (1 + x) మాక్లాయురిన్ సిరీస్ సాధారణ రూపం ఉపయోగించి, అనేక ముడుచుకున్న చేయవచ్చు కోసం గత ఉదాహరణకు, వంటి. కానీ ఈ ఫీచర్ మాక్లాయురిన్ చాలా సులభంగా పొందవచ్చు. ఒక రేఖాగణిత సిరీస్ సమగ్రపరచడం మేము f (x) అనేక పొందటానికి = ln (1 + x) నమూనా యొక్క:

2. ఈ వ్యాసం లో చివరి అవుతుంది, రెండవ, f (x) = arctg x కోసం వరుస ఉంటుంది. విరామం చెందిన ఎక్స్ కొరకు [-1; 1] చెల్లుబాటులో కుళ్ళిన ఉంది:

అంతే. ఈ వ్యాసంలో నేను ముఖ్యంగా ఆర్థిక మరియు సాంకేతిక కళాశాలలు, ఉన్నత గణితశాస్త్రంలో అత్యంత వాడిన టేలర్ సిరీస్ మరియు మాక్లాయురిన్ సిరీస్ సర్వే చేశారు.