తేడా ఏమిటి? ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అవకలనను ఎలా కనుగొనాలి?

ఉత్పన్నాలతో పాటు వారి విధులు వైవిధ్యాలు గణిత విశ్లేషణ యొక్క ప్రధాన విభాగం , అవకలన కలనస్ యొక్క ప్రాథమిక భావనలలో ఒకటి . మానసిక శాస్త్రీయ మరియు సాంకేతిక కార్యకలాపాల ప్రక్రియలో తలెత్తిన దాదాపు అన్ని సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అనేక శతాబ్దాల వరకు అవి విరుద్ధంగా ముడిపడివున్నాయి.

అవకలన భావన యొక్క మూలం

మొదటిసారిగా, వైవిధ్యమైన కాలిక్యులస్, ప్రముఖ జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు గాట్ఫ్రైడ్ విల్హెమ్మ్ లెబ్నిజ్ యొక్క సృష్టికర్తలలో (ఐజాక్ న్యూటన్తో పాటు) ఒక భేదాభిప్రాయాన్ని వివరించాడు. ఈ గణిత శాస్త్రవేత్తల ముందు 17 కళ. చాలా అస్పష్టమైన మరియు అస్పష్టమైన ఆలోచనను కొన్ని చిన్న చిన్న "అనంత" భాగం గురించి చాలా చిన్న స్థిర విలువకు ప్రాతినిధ్యం వహించే, కానీ సున్నాకు సమానం కాదు, ఫంక్షన్ యొక్క విలువలు కేవలం తక్కువ కాదు. అందువల్ల, విధులు యొక్క వాదనలు మరియు ఫంక్షన్ల యొక్క సంబంధిత ఇంక్రిమెంట్ లలో ఇన్ఫినిసిమల్ ఇంక్రిమెంట్ యొక్క భావనను ప్రవేశపెట్టడానికి ముందు ఒక అడుగు మాత్రమే ఉంది, తరువాతి డెరివేటివ్ల పరంగా వ్యక్తీకరించబడింది. పైన పేర్కొన్న గొప్ప శాస్త్రవేత్తలచే ఈ దశ దాదాపు ఏకకాలంలో జరిగింది.

విజ్ఞాన శాస్త్రానికి వేగంగా అభివృద్ధి చెందుతున్న పరిశ్రమ మరియు సాంకేతికతలను ఎదుర్కోవడంలో మెకానిక్స్ యొక్క ప్రయోగాత్మక ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం నుండి, న్యూటన్ మరియు లెబ్నిజ్ విధులు (ప్రధానంగా తెలిసిన పథంతో పాటు శరీర యాంత్రిక వేగంతో సంబంధించి) విధులు మార్పు రేటును కనుగొనే సాధారణ పద్ధతులను సృష్టించారు, ఇది అటువంటి భావనలను పరిచయం చేయడానికి దారితీసింది, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం మరియు అవకలనంగా, విలోమ సమస్యను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథంను కూడా గుర్తించారు, తెలిసిన (వేరియబుల్) వేగంతో మార్గం వెలుపలికి వెళ్లడంతో, ఇది ఇంటిగ్రేప్ అల.

లీబ్నిజ్ మరియు న్యూటన్ యొక్క రచనలలో, భేదాభిప్రాయాలు Δx యొక్క విలువలు యొక్క నిష్పత్తులకు అనుగుణంగా ఉన్నట్లుగా కనిపించాయి, ఇది ఫంక్షన్ల యొక్క ఇంక్రిమెంట్ యొక్క ప్రధాన భాగాలు Δy, ఇది విజయవంతంగా తరువాత విలువలను లెక్కించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. వేరొక మాటలో చెప్పాలంటే, Δy = y '(x) Δx + αΔx గా దాని వ్యుత్పన్నం ద్వారా ఏ సమయంలోనైనా (దాని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ లోపల) ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్సుకతను వ్యక్తపరచవచ్చని వారు కనుగొన్నారు, ఇక్కడ αΔx మిగిలినది సున్నాకి సున్నాకు Δx → 0, Δx కంటే చాలా వేగంగా ఉంటుంది.

మనానాలిసిస్ యొక్క స్థాపకుల ప్రకారం, భేదాభిప్రాయాలు ఖచ్చితంగా ఏ విధమైన చర్యల యొక్క ఇంక్రిమెంట్లకు వ్యక్తీకరణల్లో మొదటి పదాలు. ఇంకా శ్రేణుల పరిమితి యొక్క స్పష్టంగా నిర్వచించబడిన భావనను కలిగి లేనప్పటికీ, అవకలన విలువ Δx → 0 - Δy / Δx → y '(x) గా పనితీరు యొక్క వ్యుత్పన్నంతో ఉంటుంది అని వారు అకారణంగా అర్థం చేసుకున్నారు.

ప్రధానంగా భౌతిక శాస్త్రవేత్త అయిన న్యూటన్ కాకుండా, శారీరక సమస్యలను అధ్యయనం చేయడానికి సహాయక సాధనంగా గణిత పరికరాన్ని భావించాడు, ఈ పరికరానికి లీబ్నిజ్ మరింత శ్రద్ధ కనబర్చాడు, గణిత శాస్త్ర పరిమాణాల్లో స్పష్టమైన మరియు అర్థమయ్యే విశేషమైన విశేషాలు ఉన్నాయి. ఇది dy = y '(x) dx, వాదన dx మరియు వారి నిష్పత్తి y' (x) = dy / dx రూపంలో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క వైవిధ్యాలకు సాధారణంగా అంగీకరించబడిన సంజ్ఞామాన్ని ప్రతిపాదించింది.

ఆధునిక నిర్వచనం

ఆధునిక గణిత శాస్త్రంలో తేడా ఏమిటి? ఇది ఒక వేరియబుల్ యొక్క పెరుగుదల యొక్క భావనకు దగ్గరగా ఉంటుంది. వేరియబుల్ y విలువ y = y _{1 ను మొదటిగా} , ఆపై y = y _{2 చేస్తే} , y y y y ₁ అనే తేడా y యొక్క పెరుగుదల అంటారు. పెంపు అనుకూలమైనది. ప్రతికూల మరియు సున్నాకి సమానం. "పెంపు" అనే పదం Δ ద్వారా సూచిస్తారు, రికార్డు Δy (చదివే "డెల్టా యెర్క్") y యొక్క పెంపును సూచిస్తుంది. కాబట్టి Δy = y ₂ ─ y ₁ .

Δy = A Δx + α గా ఒక ఏకపక్ష ఫంక్షన్ యొక్క విలువ Δy Δy = A Δx + α గా ప్రాతినిధ్యం వహించబడితే, Δx పై ఆధారపడి ఉండదు, అనగా ఇచ్చిన x కు A = constం, Δx → 0 గా పదం α ఇది Δx కంటే కూడా వేగంగా ఉంటుంది, అప్పుడు మొదటి ("ప్రిన్సిపాల్") పదం Δx కు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది మరియు y = f (x) Dy లేదా df (x) (ఇది "de game", "de eff నుండి x") చదువుతుంది. అందువలన, భేదాత్మకమైనవి Δx కు సంబంధించి సరళమైన చర్యల యొక్క ఇంక్రిమెంట్ యొక్క "ప్రధాన" భాగాలు.

యాంత్రిక వివరణ

లెట్ s = f (t) అనేది ప్రాధమిక స్థానం (t మార్గంలో గడిపిన సమయము) నుండి ఒక సరళమైన కదిలే వస్తువుల దూరం. పెంపు Δ అనేది సమయ విరామం మీద Δt బిందువు యొక్క మార్గం, మరియు భేదం ds = f '(t) Δt అనేది బిందువుగా ఉండే మార్గం అదే సమయంలో ΔT వేగం f' (t) నిలుపుకుంటే, . ఒక infinitesimal Δt కోసం, ఊహాత్మక మార్గం DS నిజమైన Δ లకు భిన్నంగా ఉంటుంది, ఇది Δt కు సంబంధించి ఉన్నత క్రమంలో కలిగి ఉంటుంది. సమయము t వద్ద వేగం t సున్నా కాదు, అప్పుడు ds పాయింట్ యొక్క చిన్న స్థానభ్రంశం యొక్క సుమారు విలువ ఇస్తుంది.

రేఖాగణిత వివరణ

Y = f (x) యొక్క గ్రాఫ్ లా రేఖను లెట్. అప్పుడు Δx = MQ, Δy = QM '(క్రింద ఉన్న బొమ్మను చూడండి). టాంజెంట్ MN విభాగాన్ని Δy ను రెండు భాగాలుగా, QN మరియు NM గా విభజిస్తుంది. మొదటిది Δx కు అనుపాతంలో ఉంటుంది మరియు QN = MQ ∙ tg (కోణం QMN) = Δx f '(x) కు సమానంగా ఉంటుంది, అనగా QN అనేది భేదాత్మక డై.

NM యొక్క రెండవ భాగాన్ని Δy ─ dy; Δx → 0 కోసం, NM యొక్క పొడవు 'వాదన యొక్క పెంపు కంటే మరింత వేగంగా తగ్గిపోతుంది, అనగా దాని యొక్క చిన్న ఆర్డర్ Δx కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. పరిశీలనలో, f (x) ≠ 0 (టాంజెంట్ OX కి సమాంతరంగా లేదు) కోసం, QM మరియు QN భాగాలు సమానం; మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఎన్ఎం 'మొత్తం పెంపు Δy = QM' కంటే వేగంగా పెరుగుతుంది (చిన్నదనం క్రమము ఎక్కువగా ఉంటుంది). ఈ చిత్రంలో (M'kM విధానంతో, సెగ్మెంట్ NM''స్ సెగ్మెంట్ QM 'యొక్క చిన్న శాతం).

అందువల్ల, ఒక ఏకపక్ష ఫంక్షన్ యొక్క అవకలనమైనది గరిష్టంగా దాని టాంజెంట్ యొక్క క్రమరాహిత్యం యొక్క పరిమాణానికి సమానంగా ఉంటుంది.

ఉత్పన్నం మరియు అవకలన

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క పెంపు కోసం వ్యక్తీకరణ యొక్క మొదటి పదం లో గుణకం A దాని ఉత్పన్న F (x) కు సమానంగా ఉంటుంది. ఈ విధంగా, కింది సంబంధాన్ని కలిగి ఉంటుంది: dy = f '(x) Δx లేదా df (x) = f' (x) Δx.

ఒక స్వతంత్ర వాదన యొక్క పెంపు దాని భేదాత్మక Δx = dx కు సమానంగా ఉంటుంది. దీని ప్రకారం, మనము వ్రాయవచ్చు: f '(x) dx = dy.

వేర్పాటువాదాల యొక్క అన్వేషణ (కొన్నిసార్లు చెప్పేది, "ద్రావణం") డెరివేటివ్లకు సంబంధించిన అదే నిబంధనల ప్రకారం నెరవేరుతుంది. వారి జాబితా క్రింద ఇవ్వబడింది.

సార్వత్రికమైనది ఏమిటి: వాదన యొక్క పెంపు లేదా దాని అవకలన

ఇక్కడ కొన్ని వివరణలు చేయవలసిన అవసరం ఉంది. X ఒక వాదనగా భావించబడినప్పుడు భేదాత్మక f '(x) Δx యొక్క ప్రాతినిధ్యాన్ని సాధ్యమవుతుంది. కానీ ఫంక్షన్ సంక్లిష్టంగా ఉంటుంది, దీనిలో x కొన్ని వాదన t యొక్క ఫంక్షన్ అయి ఉంటుంది. అప్పుడు వ్యక్తీకరణ f '(x) Δx ద్వారా వ్యత్యాసం యొక్క ప్రాతినిధ్యం, ఒక నియమం వలె అసాధ్యం; X = at + b.

ఫార్ములా f '(x) dx = dy కొరకు, అప్పుడు ఒక స్వతంత్ర వాదన x (అప్పుడు dx = Δx), మరియు t లో x యొక్క పారామిటట ఆధారపడిన సందర్భంలో, ఇది ఒక అవకలనను సూచిస్తుంది.

ఉదాహరణకు, 2 x Δx అనే వ్యక్తీకరణ y = x ^{2 కు} , x ఒక వాదన అయినప్పుడు దాని భేదాన్ని సూచిస్తుంది. ఇప్పుడు మనము x = t ^{2 ని} సెట్ చేసి t వాదనను పరిశీలిస్తాము. అప్పుడు y = x ² = t ⁴ .

తరువాత (t + Δt) ² = t ² + 2ttt + Δt ^{2 ను} అనుసరిస్తుంది. అందువల్ల Δx = 2ttt + Δt ² . అందువల్ల: 2xΔx = 2t ² (2ttt + Δt ² ).

ఈ వ్యక్తీకరణ Δt కి అనులోమానుపాతంలో ఉండదు మరియు అందువలన 2xDx భేదం కాదు. ఇది సమీకరణం y = x ² = t ^{4 నుండి చూడవచ్చు} . ఇది dy = 4t ³ Δt అవుతుంది.

మనము ఎక్స్ప్రెషన్ 2xdx ను తీసుకుంటే, అది వాదనకు y = x ^{2 ను} సూచిస్తుంది. నిజానికి, x = t ^{2 కొరకు} మనము dx = 2ttt ను పొందాలి.

అందువల్ల 2xdx = 2t ² 2ttt = 4t ³ Δt, అనగా రెండు భిన్నమైన వేరియబుల్స్ ద్వారా వ్రాయబడిన తేడాలు కోసం వ్యక్తీకరణలు జరుగుతాయి.

అవకలనల ద్వారా ఇంక్రిమెంట్ యొక్క ప్రత్యామ్నాయం

F '(x) ≠ 0 అయితే, Δy మరియు dy సమానమైనవి (Δx → 0 కొరకు); F '(x) = 0 (అంటే dy = 0) అంటే, అవి సమానం కాదు.

ఉదాహరణకు, y = x ² , అప్పుడు Δу = (x + Δх) ² ─ x ² = 2xΔх + Δх ² మరియు dy = 2x if. X = 3 అయితే, మనకు Δy = 6 డీప్ + Δx + Δx ² మరియు dy = 6 డీక్స్ ఉన్నాయి, ఇవి Δx ² → 0 కు సమానంగా ఉంటాయి, x = 0 వద్ద విలువలు Δy = Δx ² మరియు dy = 0 సమానంగా ఉండవు.

ఈ వాస్తవం, భేదాత్మకత (అంటే, Δx కు సంబంధించిన సరళత) యొక్క సరళమైన నిర్మాణంతో, తరచుగా γy ≈ dy కోసం చిన్న Δx అనే ఊహలో, దాదాపు లెక్కల ప్రకారం ఉపయోగిస్తారు. ఒక ఫంక్షన్ యొక్క భేదాభిప్రాయాన్ని గుర్తించడం అనేది సాధారణంగా పెంపు యొక్క ఖచ్చితమైన విలువను లెక్కించడం కంటే సులభం.

ఉదాహరణకు, మనము ఒక అంచు x = 10.00 సెం.మీ.తో కూడిన ఒక మెటల్ క్యూబ్ కలిగిఉండగా, వెడల్పు ఉన్నపుడు, Δx = 0.001 సెం.మీ. పొడవు అంచున ఘనం యొక్క ఘన V ఎంత ఎక్కువ? మనకు V = x ² , కాబట్టి dV = 3x ² Δх = 3 ∙ 10 ² ∙ 0/01 = 3 (సెం ^.3 ). వాల్యూమ్ ΔV యొక్క పెరుగుదల అవకలన dV కు సమానం, అందువలన ΔV = 3 సెం.మీ ³ . పూర్తి లెక్కింపు ΔV = 10.01 ³ ─ 10 ³ = 3.003001 ను ఇస్తుంది. కానీ ఈ ఫలితంగా, మొదటి తప్ప అన్ని సంఖ్యలు నమ్మదగని; అప్పుడు, ఏమైనప్పటికీ, మీరు దానిని 3 సెం.మీ. ³ కు రౌండ్ చేయాలి.

సహజంగానే, ప్రవేశపెట్టిన లోపం యొక్క పరిమాణాన్ని అంచనా వేయడం సాధ్యమవుతేనే అటువంటి పద్ధతి ఉపయోగపడుతుంది.

ఫంక్షన్ యొక్క భిన్నత్వం: ఉదాహరణలు

Y = x ³ యొక్క భేదాభిప్రాయాన్ని కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి, ఒక ఉత్పన్నం కనుగొనకుండా. యొక్క వాదన పెంపు ఇవ్వండి మరియు నిర్వచించండి Δ.

Δу = (Δх + x) ³ ─ x ³ = 3x ² Δх + (3x ^{2 2} + Δх ³ ).

ఇక్కడ కోఎఫిషియంట్ A = 3x ² Δx పై ఆధారపడదు, కాబట్టి మొదటి పదం Δx కు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది, మరొక పదం 3x డ్యూస్ ² + Δx ³ Δx → 0 ఉన్నప్పుడు, అది వాదన యొక్క పెంపు కంటే వేగంగా తగ్గుతుంది. కాబట్టి, 3x ² Δx అనే పదం భేదాత్మక y = x ^3:

Dy = 3x2 Δx = 3x2 dx లేదా d (x3) = 3x2 dx.

ఈ సందర్భంలో, d (x ³ ) / dx = 3x ^2.

ఇప్పుడు మనము y = 1 / x దాని ఉత్పన్నం యొక్క ఫంక్షన్ dy ను కనుగొంటాము. అప్పుడు d (1 / x) / dx = ─1 / x ² . అందువలన, dy = ─ Δx / x ² .

ప్రాథమిక బీజగణిత క్రియల యొక్క భేదాభిప్రాయాలు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి.

అవకలన ఉపయోగించి సుమారు గణనలు

ఫంక్షన్ f (x) ను గణించడం చాలా కష్టం కాదు, అలాగే x = a కోసం దాని ఉత్పన్నం f '(x) ను సూచిస్తుంది, కానీ పాయింట్ x = a యొక్క పొరుగు ప్రాంతంలో ఇదే పని చేయడం సులభం కాదు. అప్పుడు సుమారు వ్యక్తీకరణ రెస్క్యూ వస్తుంది

F (a + Δx) ≈ f '(a) Δx + f (a).

ఇది దాని అవకలన f '(a) Δx ద్వారా చిన్న ఋణాలు Δx కోసం ఫంక్షన్ యొక్క సుమారు విలువను ఇస్తుంది.

ఫలితంగా, ఈ సూత్రం ఈ విభాగం (x = a) యొక్క ప్రారంభ బిందువు వద్ద దాని విలువ మొత్తంగా మరియు అదే ప్రారంభ బిందువు వద్ద వ్యత్యాసం యొక్క పొడవు Δx యొక్క ముగింపు బిందు వద్ద ఫంక్షన్కు సుమారుగా వ్యక్తీకరణను ఇస్తుంది. ఫంక్షన్ యొక్క విలువను నిర్ణయించే ఈ క్రింది లోపం క్రింద ఉన్న బొమ్మలో చూపబడింది.

ఏది ఏమయినప్పటికీ, x = a + Δx కు ఫంక్షన్ విలువకు ఖచ్చితమైన ఎక్స్ప్రెషన్ పరిమిత ఇంక్రిమెంట్ యొక్క ఫార్ములా (లేదా, లాగార్న్ సూత్రం ద్వారా)

F (a + Δx) ≈ f '(ξ) Δx + f (a),

ఎక్కడ x = a + ξ అనేది x = a + x + a + Δx నుండి సెగ్మెంట్లో ఉంటుంది, అయితే దాని ఖచ్చితమైన స్థానం తెలియదు. ఖచ్చితమైన సూత్రం సుమారు సూత్రం యొక్క దోషాన్ని అంచనా వేస్తుంది. అయినప్పటికీ, లాగ్రాంజియన్ ఫార్ములాలో మేము ξ = Δx / 2 ని సెట్ చేస్తే, అది ఖచ్చితమైనదిగా నిలిచిపోయినప్పటికీ, భేదాత్మక పరంగా అసలు వ్యక్తీకరణ కంటే ఇది సాధారణంగా మెరుగైన ఉజ్జాయింపును ఇస్తుంది.

అవకలన ఉపయోగించి సూత్రాల లోపం యొక్క అంచనా

కొలత సాధన సూత్రం సరికానిది, మరియు కొలత డేటాలో దోషాలను పరిచయం చేస్తాయి. వారు అంతిమ సంపూర్ణ లోపంతో లేదా తక్కువ క్లుప్తంగా, ఉపాంత లోపంతో-సానుకూల సంఖ్యతో కలిగి ఉంటారు, ఖచ్చితంగా ఈ లోపాన్ని ఖచ్చితమైన విలువలో (లేదా దానికి సమానంగా) మించి ఉంటుంది. పరిమిత ప్రాముఖ్యత లోపం కొలత విలువ యొక్క సంపూర్ణ విలువ ద్వారా దాని డివిజన్ యొక్క భాగాన్ని సూచిస్తుంది.

ఫంక్షన్ y ను లెక్కించేందుకు y = f (x) అనే సూత్రాన్ని వాడండి, కానీ x యొక్క విలువ కొలత ఫలితంగా ఉంటుంది మరియు అందువలన y లో ఒక దోషం ప్రవేశపెట్టింది. అప్పుడు, ఫంక్షన్ y యొక్క పరిమితి సంపూర్ణ దోషాన్ని కనుగొనేందుకు చేయడానికి, ఫార్ములా ఉపయోగించండి

│ Δ Δ Δ │ │ f = f f '(x)

ఎక్కడ │ సున్నం వాదన పరిమితం లోపం. ΔΔy│ యొక్క విలువ పైకి చుట్టుకొని ఉండాలి, ఎందుకంటే అవకలన యొక్క లెక్కింపు ద్వారా పెంపు యొక్క లెక్కింపు సరికాదు.