రేఖాగణిత గమనం. నిర్ణయం ఉదాహరణకు

వరుసగా పరిగణించండి.

7 28 112 448 1792 ...

చాలా స్పష్టంగా చూపే మునుపటి సరిగ్గా నాలుగు సార్లు దాని కంటే ఎక్కువ అంశాలు ఏ విలువ. సో, ఈ సిరీస్ ఒక గమనం.

జ్యామితీయ గమనం సంఖ్యల అనంతం క్రమం అని, ప్రధాన లక్షణం దీనిలో ఈ కింది సంఖ్య కొన్ని ఖచ్చితమైన సంఖ్యలో గుణించడం ద్వారా పై నుండి పొందవచ్చు అని. ఈ క్రింది సూత్రంతో వ్యక్తీకరిస్తుంది.

_{ఒక z +1 ఒక z · Q =} , ఇక్కడ z - ఎంచుకున్న మూలకం యొక్క సంఖ్య.

దీని ప్రకారం, z ∈ N.

9 వ తరగతి - పాఠశాల రేఖాగణిత గమనం అధ్యయనం చేసినప్పుడు ఒక సమయం. ఉదాహరణలు భావన అర్థం సహాయం చేస్తుంది:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 ఫిబ్రవరి 6 ...

ఈ సూత్రం ఆధారంగా, క్రింది హారం పెరగకుండా కనుగొనవచ్చు:

ఏ q, లేదా బి _z సున్నా ఉండకూడదు. అలాగే, మూలకాల యొక్క ప్రతి వరుస సంఖ్యల శ్రేణిని గమనం సున్నా ఉండకూడదు.

దీని ప్రకారం, అనేక తదుపరి సంఖ్య చూడండి q లతో రెండో గుణిస్తారు.

ఈ పురోగమనం నిర్వచించడానికి, మీరు మరియు హారం మొదటి మూలకం పేర్కొనాలి. ఆ తరువాత ఇది క్రింది సభ్యులు మరియు వారి మొత్తంలో ఏ కనుగొనేందుకు అవకాశం ఉంది.

జాతుల

q మరియు ఒక _{1 ఆధారపడి,} ఈ పురోగమనం అనేక రకాలుగా విభజించబడింది:

• ఒక _{1 ఉంటే,} మరియు q ఒకటి కంటే ఎక్కువ, అప్పుడు ఒక క్రమం ఉంది - ఒక రేఖాగణిత అభ్యున్నతికి ప్రతి వరుస మూలకానికి తో పెరుగుతున్న. ఉదాహరణలు దాని క్రింద వివరించబడినవి.

ఉదాహరణ: ఒక ₁ = 3, q = 2 - ఐక్యత కంటే ఎక్కువ, రెండు పారామితులు.

అప్పుడు సంఖ్యల క్రమం గా వ్రాయవచ్చు:

3 6 12 24 48 ...

• ఉంటే | q | ఒకటి, అంటే కంటే తక్కువ, అది డివిజన్ గుణకారం సమానం, స్థితులతో గమనం - రేఖాగణిత గమనం తగ్గుతుంది. ఉదాహరణలు దాని క్రింద వివరించబడినవి.

ఉదాహరణ: ఒక ₁ = 6, q = 1/3 - ఒక ₁ ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉంటుంది, q - తక్కువ.

అప్పుడు సంఖ్యల క్రమం ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

జూన్ 2 2/3 ... - ఇది క్రింది ఏ మూలకం మరింత అంశాలు, 3 సార్లు ఉంది.

• ఆల్టర్నేటింగ్. అయితే q <0, క్రమం ఏకాంతర సంఖ్యలు నిరంతరం సంబంధం లేకుండా ఒక ₁ యొక్క _{చిహ్నాలు,} మరియు ఏ పెరుగుదల లేదా తగ్గుదల యొక్క అంశాలు.

ఉదాహరణ: ఒక ₁ = -3, q = -2 - సున్నా కంటే రెండు తక్కువ.

అప్పుడు సంఖ్యల క్రమం గా వ్రాయవచ్చు:

3, 6, -12, 24, ...

సూత్రం

సౌకర్యవంతంగా ఉపయోగం కోసం, సూత్రాలు అనేక రేఖాగణిత పురోగమనాలు ఉన్నాయి:

• ఫార్ములా z వ పదం. ఇది మునుపటి సంఖ్యలు లెక్క లేకుండా ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్యలో మూలకం యొక్క లెక్కింపు అనుమతిస్తుంది.

ఉదాహరణ: q = 3, a = ₁ 4. నాల్గవ మూలకం గమనం లెక్కించేందుకు అవసరం.

పరిష్కారం: ఒక = ₄ 4 3 · ^4-1 · ³ = 4 3 = 4 · 27 = 108.

• వీరి సంఖ్య మొదటి అంశాలు మొత్తానికి సమానం z. ఇది ఒక _z కలుపుకొని ఒక క్రమంలో అన్ని అంశాలు మొత్తాన్ని లెక్కించడం అనుమతిస్తుంది.

≠ 0, అందువలన, q కాదు 1 - (q 1) నుండి (1- q) అప్పుడు, హారం లో ఉంది.

గమనిక: q = 1, అప్పుడు గమనం అనంతంగా సంఖ్య పునరావృతమైన ఒక సంఖ్య ప్రాతినిధ్యం ఉండేది ఉంటే.

మొత్తం విశేషంగా ఉదాహరణలు: ఒక ₁ = 2, q = -2. S _{5 లెక్కించు.}

పరిష్కారం: S ₅ = 22 - లెక్కింపు సూత్రం.

• మొత్తం ఉంటే | q | <1 మరియు z అనంతం ఉంటుంది ఉన్నప్పుడు.

ఉదాహరణ: ఒక ₁ = _2, q = 0.5. మొత్తం కనుగొనేందుకు.

పరిష్కారం: S _z = 2 x = 4

మేము మాన్యువల్ అనేక సభ్యులు మొత్తం లెక్కించేందుకు ఉంటే, మీరు నిజానికి నాలుగు కట్టుబడి ఉంది అని చూస్తారు.

S _z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0,125 + 0.0625 = 3.9375 4

కొన్ని ధర్మాలు:

• విశిష్ట లక్షణం. క్రింది పరిస్థితి ఉంటే ఇది ఏ z కొరకు, అప్పుడు ఒక సంఖ్యా సిరీస్ ఇచ్చిన కలిగి - ఒక రేఖాగణిత అభ్యున్నతికి:

ఒక _z ² = ఒక _{z -1} · ఎ _{z + 1}

• ఇది ఏ సంఖ్యలో చదరపు వారు మూలకం నుండి సమాన ఉంటే, ఏ వరుసగా ఇతర రెండు సంఖ్యల చతురస్రాల అదనంగా ద్వారా విశేషంగా కూడా ఉంది.

² ఒక _z = ఒక _{z - t} ² ₊ ఒక _z + _t ² ఎక్కడ t - ఈ సంఖ్యలను మధ్య దూరం.

• అంశాలు q సార్లు భేదం.
• పురోగతి యొక్క మూలకాల యాంత్రిక పద్ధతులను అలాగే నిర్దిష్ట సంఖ్యలో ద్వారా గతంలో కంటే మరింత వాటిని ప్రతి, అంటే, ఒక అభ్యున్నతి కానీ అంక ఏర్పాటు.

కొన్ని శాస్త్రీయ సమస్యలు ఉదాహరణలు

మంచి ఒక రేఖాగణిత అభ్యున్నతికి, గ్రేడ్ 9 నిర్ణయం ఉదాహరణలు తో సహాయపడుతుంది అర్థం చేసుకోవడానికి.

• నిబంధనలు మరియు షరతులు: ₁ = 3, ₃ = 48. q వెతుకు.

పరిష్కారం: మునుపటి q కన్నా ఎక్కువ కాకుండా ప్రతి వరుస మూలకానికి సమయం. ఇది హారం ద్వారా ఇతర ద్వారా కొన్ని అంశాలు వ్యక్తం అవసరం.

అంటే, ఒక ₃ = q ² · ఒక ₁

బదులుగా చేసినప్పుడు q = 4

• నిబంధనలు: ₂ = 6, ఒక = ₃ 12. లెక్కించు S _6.

సొల్యూషన్: ఈ చేయుటకు, అది సూత్రంలో q, మొదటి మూలకం మరియు ప్రత్యామ్నాయంగా కనుగొనేందుకు సంతృప్తి పరుస్తుంది.

ఒక ₃ = q · ఒక _2, పర్యవసానంగా, q = 2

ఒక ₂ = q · ఎ _1, కాబట్టి ఒక = ₁ 3

S = ₆ 189

• · ఎ ₁ = 10, q = -2. గమనం యొక్క నాల్గవ మూలకం కనుగొనేందుకు.

పరిష్కారం: ఇది మొదటి ద్వారా మరియు హారం ద్వారా నాల్గవ మూలకం వ్యక్తం తగినంత ఉంది.

₄ ఒక ³ = q · ఒక = ₁ -80

అప్లికేషన్ ఉదాహరణకు:

• బ్యాంక్ క్లయింట్ ప్రతి సంవత్సరం ప్రధాన మొత్తం క్లయింట్ అయితే చేర్చబడుతుంది ఇది క్రింద 6% 10,000 రూబిళ్లు మొత్తం అందించింది. ఎంత డబ్బు 4 సంవత్సరాలు తరువాత ఖాతాలో?

పరిష్కారం: 10 వేల రూబిళ్లు సమానంగా ప్రారంభ మొత్తం. కాబట్టి, ఖాతా లో పెట్టుబడులు తర్వాత ఒక సంవత్సరం 10000 + 10000 = 10000 · 0.06 · 1.06 సమానంగా మొత్తం ఉంటుంది

దీని ప్రకారం, ఒక సంవత్సరం వ్యక్తం అవుతుంది తర్వాత కూడా ఖాతాలో మొత్తం అనుసరిస్తుంది:

(10000 · 1.06) · 10000 · 0.06 + 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

ప్రతి సంవత్సరం మొత్తంలో 1.06 రెట్లు పెరిగింది, ఉంది. అందువల్ల, 4 సంవత్సరాల తర్వాత ఖాతా సంఖ్య కనుగొనేందుకు, 10 వేల వరకు సమాన మొదటి మూలకం ఇవ్వబడుతుంది ఒక నాల్గవ మూలకం అభ్యున్నతి, మరియు 1.06 సమానంగా హారం కనుగొనేందుకు సంతృప్తి పరుస్తుంది.

S = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = 12625

మొత్తం యొక్క గణనలో సమస్యలు ఉదాహరణలు:

వివిధ సమస్యల్లో రేఖాగణిత గమనం ఉపయోగించి. క్రింది మొత్తంతో ఒక ఉదాహరణ సెట్ చేయబడవచ్చు:

ఒక ₁ = 4, q = 2, S _{5 లెక్కించేందుకు.}

పరిష్కారం: లెక్కింపు కోసం అన్ని అవసరమైన డేటా పిలుస్తారు, కేవలం సూత్రం వాటిని ప్రత్యామ్నాయంగా.

S ₅ = 124

• ఒక ₂ = 6, ఒక = ₃ 18. లెక్కించు మొదటి ఆరు అంశాల మొత్తం.

పరిష్కారం:

Geom. మునుపటి q సార్లు పైగా తర్వాతి పెద్ద యొక్క ప్రతి మూలకం యొక్క పురోగతి, ఆ, మొత్తం లెక్కించేందుకు మీరు మూలకం ఒక ₁ మరియు హారం q తెలుసుకోవాలి.

ఒక ₂ · Q = ₃

q = 3

అదేవిధంగా, ఒక _{1, 2} మరియు తెలుసుకోవడం q కనుగొనేందుకు అవసరం.

ఒక ₁ · q ₂ =

ఒక ₁ = 2

ఆపై ఇది ఫార్ములా మొత్తం లోకి పిలుస్తారు డేటా ప్రత్యామ్నాయంగా సంతృప్తి పరుస్తుంది.

S ₆ = 728.