సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలు. సరళ బీజగణిత సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థలు

తిరిగి పాఠశాలలో, మనలో ప్రతి ఒక్కరు సమీకరణాలను అధ్యయనం చేసి, బహుశా, సమీకరణాల వ్యవస్థను అధ్యయనం చేశారు. కానీ వాటిని పరిష్కరించడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయని చాలామందికి తెలియదు. ఈ రోజు మనం రెండు సమీకరణాల కంటే ఎక్కువ ఉండే లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి అన్ని పద్ధతులను చర్చిస్తాము.

కథ

ఈ రోజు వరకు, సమకాలీన సమీకరణాల కళ మరియు వారి వ్యవస్థలు పురాతన బాబిలోన్ మరియు ఈజిప్టులో ఉద్భవించాయని తెలుస్తుంది. ఏదేమైనా, మాకు వారి సాధారణ రూపంలో సమానత్వం సమానత్వం "=" సంకేతం కనిపించిన తర్వాత కనిపించింది, ఇది 1556 లో ఆంగ్ల గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు రికార్డ్ చేశాడు. మార్గం ద్వారా, ఈ సంకేతం ఒక కారణం కోసం ఎంపిక చేయబడింది: ఇది రెండు సమాంతర సమాన భాగాలుగా ఉంటుంది. మరియు అది సమానత్వం యొక్క ఉత్తమ ఉదాహరణ ఊహించలేము నిజం.

తెలియని మరియు గుర్తించదగిన సంకేతాల యొక్క ఆధునిక వర్ణమాల యొక్క స్థాపకుడు ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఫ్రాంకోయిస్ విఎట్. ఏది ఏమయినప్పటికీ, దాని విశేషాలు నేటి నుండి చాలా భిన్నమైనవి. ఉదాహరణకు, తెలియని సంఖ్య యొక్క చదరపు అక్షరం Q (లాటిన్ "క్వాడ్రాటస్"), మరియు సి (లాటిన్ "cubus") అనే అక్షరం ద్వారా క్యూబ్ సూచిస్తారు. ఈ విశేషాలు ఇప్పుడు అసౌకర్యంగా కనిపిస్తాయి, కానీ సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను రాయడానికి ఇది అత్యంత అర్థవంతమైన మార్గం.

ఏది ఏమయినప్పటికీ, పరిష్కారపు పద్ధతులలో ప్రతికూలత గణిత శాస్త్రవేత్తలు సానుకూల మూలాలు మాత్రమే. ప్రతికూల విలువలకు ఆచరణాత్మక అన్వయం లేదని వాస్తవానికి ఇది కారణం కావచ్చు. ఏదేమైనా, ఇటలీ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు నికోలో టార్టగ్లియా, గెరోలోమో కార్డానో మరియు రాఫెల్ బొంబెల్లి 16 వ శతాబ్దంలో ప్రతికూల మూలాలను పరిగణలోకి తీసుకున్నారు. ఆధునిక రూపం, ద్విపద సమీకరణాలను (వివక్షత ద్వారా) పరిష్కరించడానికి ప్రధాన పద్ధతి కేవలం 17 వ శతాబ్దంలో డెస్కార్టెస్ మరియు న్యూటన్ రచనలకు మాత్రమే సృష్టించబడింది.

18 వ శతాబ్దం మధ్యకాలంలో, స్విస్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు గాబ్రియెల్ క్రామర్ సరళ సమీకరణాల యొక్క పరిష్కార వ్యవస్థలను సులభతరం చేయడానికి ఒక నూతన మార్గాన్ని కనుగొన్నాడు. ఈ పద్ధతి తర్వాత అతని పేరు పెట్టబడింది మరియు ఈ రోజు వరకు మేము దీనిని ఉపయోగిస్తున్నాము. కానీ మేము కొంతకాలం తర్వాత క్రామెర్ పద్ధతిని గురించి మాట్లాడతాము, కానీ ప్రస్తుతానికి, మేము సిస్టమ్ నుండి విడిగా వాటిని పరిష్కరించడానికి సరళ సమీకరణాలు మరియు పద్ధతులను చర్చిస్తాము.

లీనియర్ సమీకరణాలు

సరళ సమీకరణాలు ఒక వేరియబుల్ (లు) తో సరళమైన సమీకరణములు. అవి బీజగణితంగా వర్గీకరించబడ్డాయి. లీనియర్ సమీకరణాలు సాధారణ రూపంలో క్రింది విధంగా ఉంటాయి: ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b. వీటి రూపాల్లో వ్యవస్థలు మరియు మాత్రికల సంకలనం మరింత అవసరం.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలు

ఈ పదానికి నిర్వచనం: ఇది సాధారణ తెలియని పరిమాణాలు మరియు సాధారణ పరిష్కారం కలిగిన సమీకరణాల సమాహారం. నియమం ప్రకారం, పాఠశాలలో, ప్రతిదీ రెండు లేదా మూడు సమీకరణాలతో వ్యవస్థల ద్వారా పరిష్కరించబడింది. కానీ నాలుగు లేదా ఎక్కువ భాగాలతో ఉన్న వ్యవస్థలు ఉన్నాయి. మొదట వాటిని చూద్దాం, తద్వారా వాటిని పరిష్కరించడానికి అనుకూలమైనది. మొదట, సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలు అన్ని చరరాశులు x ఇదే సూచికతో వ్రాయబడితే మంచివి: 1,2,3 మరియు అందువలన న. రెండవది, అన్ని సమీకరణములను కానానికల్ రూపానికి తీసుకురావాలి: ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b.

ఈ చర్యల తరువాత, సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలకు పరిష్కారం ఎలా దొరుకుతుందో చెప్పడం ప్రారంభిద్దాం. ఈ కోసం చాలా మేము మాత్రికలు అవసరం.

మాత్రిక

ఒక మాత్రిక అనేది వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలను కలిగి ఉన్న ఒక పట్టిక, మరియు వాటి ఖండన వద్ద దాని అంశాలు. ఇది నిర్దిష్ట విలువలు లేదా వేరియబుల్స్ కావచ్చు. చాలా తరచుగా, అంశాలని సూచించడానికి, వారు సభ్యత్వాలను క్రింద ఉంచారు (ఉదాహరణకు, ₁₁ లేదా ₂₃ ). మొదటి ఇండెక్స్ వరుస సంఖ్య, రెండవది కాలమ్. అంతే మాత్రికలు, అలాగే ఇతర గణిత శాస్త్ర మూలకాల కంటే, మీరు వివిధ కార్యకలాపాలను నిర్వహించవచ్చు. అందువలన, మీరు:

1) వ్యవకలనం మరియు అదే పరిమాణం పట్టికలు జోడించండి.

2) ఒక సంఖ్య లేదా వెక్టార్ ద్వారా మాత్రికను గుణించండి.

3) ట్రాన్స్పరస్: మార్టిక్స్ యొక్క వరుసలను నిలువులుగా మరియు నిలువు వరుసలుగా మార్చండి.

4) వాటిలో ఒకదాని యొక్క వరుసల సంఖ్య ఇతర నిలువు వరుసల సంఖ్యకు సమానం అయితే మాత్రికలను గుణించండి.

భవిష్యత్తులో మాకు ఉపయోగకరంగా ఉంటున్నందున ఈ సాంకేతికతలను మరింత వివరంగా చర్చించాము. మాత్రిక యొక్క తీసివేత మరియు అదనంగా చాలా సులభం. మేము అదే పరిమాణం యొక్క మాత్రికలను తీసుకోవడం వలన, ఒక పట్టిక యొక్క ప్రతి మూలకం ఇతర ప్రతి మూలకానికి సంబంధించినది. అందువలన మనం ఈ రెండు అంశాలను (తీసివేత) జోడించాము (ఇది వారి మాత్రికలలో ఒకే ప్రదేశాలలో నిలబడటం ముఖ్యం). ఒక మ్యాట్రిక్స్ను ఒక సంఖ్య లేదా వెక్టార్ ద్వారా గుణించినప్పుడు, మీరు ఆ సంఖ్య (లేదా వెక్టర్) ద్వారా మాతృక యొక్క ప్రతి మూలకాన్ని గుణించాలి. మార్పిడి చాలా ఆసక్తికరమైన ప్రక్రియ. ఇది నిజ జీవితంలో చూడడానికి కొన్నిసార్లు చాలా ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది, ఉదాహరణకు, టాబ్లెట్ లేదా ఫోన్ యొక్క ధోరణిని మార్చినప్పుడు. డెస్క్టాప్లోని చిహ్నాలు మాత్రిక, మరియు స్థానం మారినప్పుడు, ఇది పరస్పరం మారుతుంది మరియు విస్తృతమవుతుంది, కానీ ఎత్తులో తగ్గుతుంది.

మాత్రిక యొక్క గుణకారం వలె ఇప్పటికీ ఇటువంటి ప్రక్రియను విశ్లేషించండి . ఇది ఉపయోగంలో లేనప్పటికీ, ఇది ఇప్పటికీ తెలుసుకోవడానికి ఉపయోగపడుతుంది. ఒక పట్టిక యొక్క నిలువు వరుసల సంఖ్య ఇతర వరుసల సంఖ్యకు సమానం అయితే రెండు మాత్రికలను గుణించండి. ఇప్పుడు మనం ఒక మాత్రిక యొక్క రేఖ యొక్క మూలకాలు మరియు ఇతర యొక్క సంబంధిత నిలువు వరుస యొక్క అంశాలని చేస్తాము. మనము వాటిని ఒకదానిని గుణించి, ఆపై వాటిని జతచేస్తాము (ఉదాహరణకు, ఒక ₁₁ మరియు ₁₂ మూలకాల యొక్క ఒక ₁₁ మరియు ₁₂ మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తి ₁₂ మరియు బి ₂₂ ): ₁₁ * బి ₁₂ + ₁₂ * బి ₂₂ ). అందువలన, పట్టిక యొక్క ఒక మూలకం పొందవచ్చు, మరియు అదే పద్ధతి మరింత నిండి ఉంటుంది.

ఇప్పుడు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఎలా పరిష్కారమవుతుందో పరిశీలించడాన్ని ప్రారంభించవచ్చు.

ది గాస్ మెథడ్

ఈ విషయం పాఠశాలలో జరుగుతుంది. "రెండు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ" యొక్క భావన మాకు బాగా తెలుసు మరియు వాటిని పరిష్కరించగలదు. కానీ సమీకరణాల సంఖ్య రెండు కన్నా ఎక్కువ ఉంటే? గాస్ పద్ధతి ఈ మాకు సహాయం చేస్తుంది .

వాస్తవానికి, మేము సిస్టమ్ నుండి ఒక మాతృకను చేస్తే ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. కానీ మీరు దానిని మార్చలేరు మరియు దాని స్వచ్ఛమైన రూపంలో దీనిని పరిష్కరించలేరు.

కాబట్టి సరళ గాస్ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఈ పద్ధతిని ఎలా పరిష్కరిస్తుంది? మార్గం ద్వారా, ఈ పద్ధతి అతని పేరు పెట్టబడింది, అయితే అది ప్రాచీన కాలంలో కనుగొనబడింది. కాస్ క్రింది విధంగా సూచిస్తుంది: సమీకరణాలతో కార్యకలాపాలు నిర్వహించడానికి, చివరికి మొత్తం కంకరను ఒక అడుగు-రూపంలోకి తీసుకురావడానికి. అంటే, మొదటి సమీకరణం నుండి చివరి వరకు (సరిగ్గా అమర్చబడి ఉంటే) చివరికి ఒక తెలియని ద్వారా తగ్గిపోతుంది. ఇంకొక మాటలో చెప్పాలంటే, మనము దానిని మూడు సమీకరణములను అవ్వాలనుకుందాం: మొదటి - మూడు తెలియని, రెండవ - రెండవ, మూడవ - ఒకటి. అప్పుడు చివరి సమీకరణం నుండి మనము మొట్టమొదటిగా గుర్తించాము, దాని విలువను రెండవ లేదా మొదటి సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి, ఆపై మిగిలిన రెండు వేరియబుల్స్ ను కనుగొనండి.

క్రామెర్ పద్ధతి

ఈ పద్ధతిని నేర్చుకోవటానికి, అదనంగా, మెట్రిక్ల యొక్క తీసివేత, మరియు డిటిండిన్టింగులను కనుగొనటానికి ఇది చాలా ముఖ్యమైనది. మీరు చెడుగా చేస్తే లేదా ఎలా తెలియకపోతే, మీరు నేర్చుకోవాలి మరియు సాధన చేయాలి.

ఈ పద్ధతి యొక్క సారాంశం ఏమిటి, మరియు సరళమైన క్రామర్ సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందడం ఎలా? ఇది చాలా సులభం. మేము లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క సంఖ్యా (దాదాపు ఎల్లప్పుడూ) గుణకాల యొక్క మాతృకను తప్పక నిర్మిస్తాము. ఇది చేయటానికి, తెలియని అంశాల ముందు ఉన్న సంఖ్యలను తీసుకొని వాటిని వ్యవస్థలో వ్రాసిన క్రమంలో పట్టికలో ఉంచండి. సంఖ్య ముందు "-" సంకేతం ఉంటే, అప్పుడు ప్రతికూల గుణకం వ్రాయండి. కాబట్టి, మేము కోఎఫీషియంట్ యొక్క మొదటి మాత్రిక తెలియని సంకేతాల తరువాత సంఖ్యలు (కాదు, సమీకరణం కాననికల్ రూపానికి తగ్గించబడాలి, కుడి వైపు మాత్రమే సంఖ్యను కలిగి ఉన్నప్పుడు, మరియు ఎడమ అంతా అన్ని గుణమాపాలను కలిగివుండటం) సహజంగా ఉంటుంది. అప్పుడు మనం అనేక మాత్రికలను సృష్టించాలి, ప్రతి వేరియబుల్ ఒకటి. ఇది చేయుటకు, మొదటి మాత్రికను సమాన సంకేతము తరువాత సంఖ్యల నిలువు వరుసల గుణకాలతో ప్రతి నిలువరుసకు బదులుగా మార్చండి. అందుచే మేము అనేక మాత్రికలను పొందాలి, ఆ తరువాత వారి నిర్ణాయకాలను కనుగొనండి.

మేము నిర్ణయాలు కనుగొన్న తర్వాత, ఇది ఒక చిన్న విషయం. మనము ప్రారంభ మాతృకను కలిగి ఉన్నాము, మరియు వేర్వేరు చరరాశులకు అనుగుణంగా పొందిన అనేక మాత్రికలు ఉన్నాయి. సిస్టమ్ పరిష్కారాలను పొందాలంటే, పొందిన టేబుల్ యొక్క నిర్ణాయక బిందువు ప్రాథమిక పట్టిక యొక్క నిర్ణయాధికారంగా విభజిస్తుంది. ఫలిత సంఖ్య, వేరియబుల్స్ యొక్క విలువ. అదేవిధంగా, మేము అన్ని తెలియని కనుగొనేందుకు.

ఇతర పద్ధతులు

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల పరిష్కారం కోసం అనేక ఇతర పద్ధతులు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, ద్విపద సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి ఉపయోగించే గజ్-జోర్డాన్ పద్ధతి అని పిలవబడే, మాత్రికల ఉపయోగానికి సంబంధించినది. లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి జాకోబి పద్ధతి కూడా ఉంది. ఇది కంప్యూటర్కు అత్యంత అనువర్తనంగా ఉంటుంది మరియు కంప్యూటర్ టెక్నాలజీలో ఉపయోగించబడుతుంది.

కాంప్లెక్స్ కేసులు

సమీకరణాల సంఖ్య వేరియబుల్స్ సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటే సాధారణంగా సంక్లిష్టత ఏర్పడుతుంది. అప్పుడు కొంతమందికి వ్యవస్థ అస్థిరమైనది (అనగా, అది ఏ మూలమూ లేదు) లేదా దాని పరిష్కారాల సంఖ్య అనంతం వరకు ఉంటుంది అని చెప్పవచ్చు. మనము రెండవ కేసుని కలిగి ఉంటే, సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని వ్రాయాలి. ఇది కనీసం ఒక వేరియబుల్ని కలిగి ఉంటుంది.

నిర్ధారణకు

కాబట్టి మేము చివరికి వచ్చాము. లెట్స్ సంకలనం: మేము ఏ సిస్టమ్ మరియు మ్యాట్రిక్స్ అనేవి విశ్లేషించాము మరియు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని ఎలా కనుగొనాలో నేర్చుకున్నాము. అదనంగా, మేము ఇతర ఎంపికలు భావిస్తారు. సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఎలా పరిష్కరించబడుతుందో మేము కనుగొన్నాము: గాస్ పద్ధతి మరియు క్రామెర్ పద్ధతి. మేము సంక్లిష్ట కేసులు మరియు పరిష్కారాలను కనుగొనే ఇతర మార్గాలు గురించి మాట్లాడాము.

నిజానికి, ఈ విషయం మరింత విస్తృతమైనది, మరియు మీరు దానిని అర్థం చేసుకోవాలంటే, మరింత ప్రత్యేక సాహిత్యాన్ని చదవాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము.